Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=3x^2-1 и y=3x+5

Сначала надо нарисовать ускомую - это будет область, снизу ограниченная дугой параболы y=x^2-3*x, а сверху - отрезком прямой y=3*x-5.

Точки пересечения находим, приравняв левые части

x^2-3*x=3*x-5

Это квадратное уравнение, корни - это х=1 и х=5.

Площадь фигуры будет равна двойному интегралу: по х от 1 (нижний предел) до 5(верхний предел) .

и по у от x^2-3*x(нижний предел) до 3*x-5(верхний предел) .

Сначала интегрируем по у, получим 3*x-5-(x^2-3*x), т. е. -x^2+6*x-5.

Потом интегрируем по х,

получим неопределенный интеграл -x^3/3+3*x^2-5х, в который подставим верхний предел х=5 и нижний предел х=1, получим:

-5^3/3+3*5^2-5*5 - (-1^3/3+3*1^2-5*1)=32/3, то есть 10 2/3.