Знайдіть найменшу відстань між графіками функцій y=x^2 і y=2x-4
пусть функция [tex]r(x)[/tex] это расстояние между параболой [tex]y=x^2[/tex] и [tex]y=2x-4[/tex]. за аргумент этой функции принимаем абсциссу точки [tex]m(x; x^2)[/tex], которая принадлежит параболе.
расстояние от точки м до прямой y = 2x - 4 или 2x - y - 4 = 0
[tex]r(x)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|2\cdot x-1\cdot x^2-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{|2x-x^2-4|}{\sqrt{5}}[/tex] — функция расстояния между параболой и прямой, зависящей от абсциссы точки параболы
[tex]r'(x)=\left(\dfrac{|2x-x^2-4|}{\sqrt{5}}\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{5}}|2-2x|[/tex]
откуда x = 1 - критическая точка.
проверим выполнение достаточного условия экстремума
[tex]r''(x)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}|2-2x|\right)'=\dfrac{2}{\sqrt{5}}> 0[/tex] для всех x ∈ r.
в частности [tex]r''(1)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}> 0[/tex]. следовательно, функция r(x) достигает минимума в точке x = 1/2:
[tex]\min r(x)=r(1)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left|2\cdot 1-1^2-4\right|=\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}[/tex]
ответ: [tex]\dfrac{3\sqrt{5}}{5}[/tex]