Доказать методом индукции справедливость следующих равенств: 1/1*5+1/5*9++1/(4n-3)(4n+1)=n/4n+1

шаг 1 (базис индукции).

пусть n=1. тогда левая часть доказываемого равенства 1/(1*5)=1/5, правая часть 1/(4*1+1)=1/5, т.е. равенство справедливо.

пусть 1/(1*5)+1/(5*9)++1/((4k-3)(4k+1))=k/(4k+1) при n=k.

шаг 2 (индуктивный переход).

пусть n=k+1. тогда 1/(1*5)+1/(5*9)++1/((4k-3)(4k+1))+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=

 

=k/(4k+1)+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=k/(4k+1)+1/((4k+4-3)(4k+4+1))=

 

=k/(4k+1)+1/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+5)+1)/((4k+1)(4k+5))=(4k^2+5k+1)/((4k+1)(4k+5))=

 

=(4k^2+k+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+1)+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=

 

=((4k+1)(k+1))/((4k+1)(4k+4+1))=(k+1)/(4(k+1)+1)

 

следовательно, исходное предположение справедливо при любых натуральных n.

| 3а | 3б | 3в | 4а | 4б | 4в | 4г|
|......|.......|......|......|.......|......|......|
|......|.......|......|......|.......|......|......|
|......|.......|......|......|.......|......|......|
Вместо точек вставь цифрв

Всего 5 баллов ааааааааа

I8333333333333939393939399393