Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 2019.

замечание: в подобных на принцип дирихле почти всегда для доказательства делимости на n достаточно рассмотреть набор из n+1 числа и остатки от их делимости на n.

так и поступим. рассмотрим набор из 2020 различных степеней двойки. каждая из них при делении на 2019 дает один из 2019 остатков:
0, 1, 2017 или 2018. тогда, по принципу дирихле, в этом наборе есть по крайней мере два числа, одинаковые остатки при делении на 2019. пусть первое равно   2019a+r, а второе равно 2019b+r, a,b,r∈n∪{0}, r≤2018. тогда их разность равна 2019a+r-(2019b+r)=2019(a-b) ⋮ 2019

доказано.