Отношения отрезков mn и kp , если [mn] в 3 раза короче [kp]

Mn/kp = 1/3 вот так.

Ао = со (по условию)
следовательно, в = од (т.к ав=сд)
угол вос = углу аод (как вертикальные)
значит треугольник сов = треугольнику аод (по 2 сторонам и углу между ними)
так как треуг сов=треуг аов, то угол авс равен углу адс, потому что в равных треугольниках все элементы соответственно равны.

Угол CBD - прямой, так как это вписанный угол, опирающийся на диаметр. 
∠ABC= ∠ABD-∠CBD =130°-90°=40°

∠AOM = 180 - ∠МОС = 180 - 135 = 45°  (смежные углы)

∠МОВ = ∠АОМ = 45° (т.к. МО - биссектриса ΔАОВ)

∠АОВ = ∠АОМ + ∠МОВ = 45 + 45 = 90°

Следовательно, ВО - высота ΔАВС.
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная к основанию, является также биссектрисой, следовательно
∠АВО = ∠ОВС, что и требовалось доказать.