В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC
Длина высоты-10 см,длина боковой стороны-20 см
Определить углы этого треугольника

Скорее всего, Вы имели в виду, что <B=80°.
Тогда биссектриса АК делит угол при основании А, равный (180°-80°):2=50° (углы при основании равны, а сумма внутренних углов треугольника равна 180°) пополам. Значит <CAK=25°.
Ответ: <CAK=25°.

Не совсем уверена, но вот шестой. 
6. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом B. AB=a, BC=b. Достроим фигуру до прямоугольника ABCD. Значит AD=BC=b и AB=DC=a. Пусть AC - диагональ прямоугольника ABCD. Тогда треугольник ABC=треугольнику CDA (по двум сторонам a,b и углу между ними). Отсюда следует что площади этих треугольников равны => Площадь прямоугольника ABCD = (площадь треугольника ABC) * 2.
Площадь прямоугольника ABCD = a*b =>
2*S(ABC)=a*b;
S(ABC)=a*b/2;
и.т.д.

1) Так как угол А=углу Д, БА=ДМ, а также так как углы ВСА и ДСМ вертикальные, то они равны, следовательно прямоугольные треугольники равны по двум катетам.
2) Так как угол С равен углу А и угол ВСА= углу ДАС, то угол АСД= углу ВАС, следовательно треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.