Докажите утверждение: Число a, записываемое 80 двойками, 80 единицами и 80 нулями является точным квадратом.

Мои рассуждения:

Число а делится на 3, т.к. сумма его цифр (240) делится на три по признаку делимости на 3.

Но число а также делится и на 2, 4, 5 и 8 по признаку делимости на эти цифры.

Если попробовать решить от обратного, т.е. предположить что число а является точным квадратом, то тогда мы получаем следующее:

a=n^2, но с другой стороны

a=3t

a=4k

a=2s

a=5m

a=8b, где t,k,s,m,b - натуральные числа.

отсюда:

3t=nn, отсюда n=3(t/n), t/n - натуральное число, значит n=3q

2s=nn, n=2p

8b=nn, n=8w

5m=nn, n=5r

4k=nn, n=4k

где q,p,w,r,k - натуральные числа.

значит

a=9q^2 - число а не делится на 9 значит противоречие

a=4p^2 - число а делится на 4, т.е. противоречия нет

a=64w^2 - на 64 не делится

a=25r^2 - на 25 делится

a=16k^2 - на 16 не делится

Если бы все варианты дали противоречие, то это бы доказало, что а не может быть точным квадратом, а так как два предположения подтвердилось, то я ничего не доказал.

---

Подскажите, может быть я где-то ошибся в своих рассуждениях...