Определите падеж причастия окружающий меня мир

именительный падеж.

т.к. окружающий относится к слову мир, а мир это подлежайщее.

Сложноподчиненное:
Вот Чернавка в лес пошла
И в такую даль свела,
Что царевна догадалась,
И до смерти испугалась.

Бессоюзное:
Только видит: вьется вьюга,
Снег валится на поля,
Вся белешенька земля.

Часть речи
Часть речи слова совершенствовать — глагол.Морфологические признакиНачальная форма: совершенствовать (инфинитив);Постоянные признаки: 1-е спряжение, переходный, несовершенный вид;Непостоянные признаки: изъявительное наклонение.Синтаксическая роль
Может быть различным членом предложения, смотрите по контексту

Чтобы разоядинять мысли