Выполнить синтаксический разбор. Старый дуб, раскинувшись шатром сочной, темной зелени, млел, чуть колыхаясь в лучах вечернего солнца.

Это все однокоренные слова,так как тут нет слова,в котором изменяется только окончание. везде добавляется суффикс "ик"

У тебя всё верно отмечено

Задание а) 
Люблю грибы собирать! Под березами, под листочками спрятались подберёзовики. Ножка тоненькая, шляпка широкая. В сухом бору красуется гриб-боровик.
характеристика первого предложения:
(повествовательное, восклицательное, распространённое, а последнюю характеристику, уж извините, не помню!!!
задание б)
слова-предметы:
ножка, шляпка.
доказательства:
слово ножка, корень нож проверяю: нога, ноженька, ножки чередование ног-нож
суффикс к, окончание а, доказываю, что окончание а: ножкА, ножкИ, ноженькА
слово шляпка, корень шляп проверяю: шляпа, шляпы, шляпка, шляпки
суффикс к, окончание а, доказываю, что окончание а: шляпкА, шляпА, шляпЫ, шляпкИ

Прийти без пальто, (р.п.
выйти из кино (р.п.)
находиться близ метро (р.п.)
дойти до шоссе (р.п.) 
сообщить по радио (д.п.)
играть на пианино пр.п
подъехать к депо д.п.
уйти без кашне - р.п.
насыпать в какао - в.п. 
стоять у ателье - р.п. 
гулять по высокогорному плато - д.п. 
увидеть на табло - пр.п. 
сидеть в фойе - пр.п. 
провести рукой по жалюзи - д.п. 
учиться в МГУ - пр.п. 
встретиться у соседнего кафе - р.п.